Filosofía en español 
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Materialismo ontológico

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Totalización homeomérica / Totalización holomérica

Homeomérico (de homoios = semejante, y meros = parte) es la condición de un todo descomponible en partes semejantes (a una escala k) entre sí, aunque no lo sea, cada una de ellas (ya sea a esa escala k) con el todo, como el círculo respecto de sus cuatro cuadrantes.

Holomérico (de holon = todos, y meros = parte) es la condición de un todo en tanto es susceptible de descomponerse en partes, alguna (o algunas) de las cuales, sin necesidad de mantener semejanzas (a una escala k) con el todo (o de contenerlo «pre-formado») es capaz (o son capaces), mediante procesos de recurrencia, de regenerarlo, ya sea «sustancialmente» ya sea «estructuralmente». Las partes de las totalidades holoméricas pueden denominarse también holoméricas. El organismo de un vertebrado es holomérico respecto de sus células germinales; la superficie barrida por la hipotenusa de un triángulo rectángulo que se mueve girando en torno de un cateto es parte holomérica de la superficie cónica resultante de la recurrencia del movimiento.

Los tipos homeoméricos y holoméricos de totalización son, desde luego, dos tipos de recursividad holótica, pero referidos al ámbito de la repetición isológica del todo, o de las partes (a la isología «respecto de» parámetros dados) [47-48]. Ambos tipos no son excluyentes, aunque puedan ir disociados unidireccionalmente (las totalizaciones homeoméricas pueden reiterarse sin implicar totalizaciones holoméricas, aunque no recíprocamente). La «totalización homeomérica» (por ejemplo, la reiteración, dentro del mismo círculo que el teorema atribuido a Pitágoras: «un diámetro divide al círculo en dos semicírculos iguales» hace que el círculo se transforme en una totalidad sistemática homeomérica de infinitos pares de semicírculos alternativos intersectados) se refiere al proceso recursivo de totalización (sea por integración, totatio, sea por diferenciación, partitio). Un proceso que conduce a un todo con partes isológicas (de un todo efectivo) a una capa de partes isológicas que puede recubrir la integral de partes (sin por ello transformar el todo efectivo en un todo absoluto) [42-46].

La «totalización holomérica» se refiere al proceso recursivo que conduce a todos cuyas partes pueden re-generar un todo isológico al dado (aunque no lo contengan «isológicamente preformado»). También la totalización holomérica puede tener lugar por recursividad de procesos de integración o totatio (adosando a un triángulo equilátero otros tres obtenemos otro triángulo equilátero en un proceso recursivo indefinido) o bien por recursividad de procesos de diferenciación o partitio (dado un triángulo equilátero, obtenemos tres triángulos internos, uniendo los puntos medios de cada lado; en el paso siguiente, determinamos doce partes triangulares; en el siguiente treinta y seis, &c.). Es indispensable, a efectos de medir el significado gnoseológico de esta tipología tener presente que, desde luego, ni la homeomería ni, menos aún, la holomería pueden tener lugar en cualquier tipo de totalización, o la tienen según diversos grados: un círculo de círculos formado a partir de un conjunto de puntos límites de círculos tangentes dados no constituye una totalización comparable al triángulo de triángulos antes considerado. En el Protágoras (329d) platónico se cita la barra de oro como ejemplo de todo con partes semejantes –también de oro– frente a un rostro cuyas partes –ojo, nariz, boca– no son semejantes al todo ni entre sí, salvo parcialmente.

En cualquier caso, no han de confundirse las totalidades holoméricas con las «estructuras metafinitas» [27], en las cuales la reproducción del todo en las partes tuviera un carácter sinalógico y no sólo isológico. El movimiento, en el intervalo de un cuadrante de un triángulo rectángulo girando en torno a uno de sus catetos es parte holomérica de la superficie cónica determinada por la hipotenusa, resultante de la recurrencia del giro en los otros tres cuadrantes. Los «fractales» de Mandelbrot pueden redefinirse como desarrollos homeoméricos de totalidades obtenidas por reiteración de un núcleo; los análisis de Mandelbrot, sin embargo, parecen tender muchas veces a asimilarlos a desarrollos holoméricos. «Cada pedazo de costa es homotético al todo», dice, por ejemplo al comentar el «hecho asombroso» de que cuando una bahía o una península que están representados en un mapa a escala 1/100.000 se examinan de nuevo en un mapa a 1/10.000, se observa que sus contornos están formados por innumerables subbahías y subpenínsulas». (Mandelbrot, Los objetos fractales, Tusquets, Barcelona 1987, pág. 32.) Sin embargo, la «curva de Koch», por ejemplo, resulta de una reiteración de una misma regla a cada parte sucesivamente obtenida por vía recurrente (no es la «regla de un todo», que no existe propiamente, como fractal). La importancia gnoseológica de la teoría de los fractales, considerada desde la perspectiva de las totalidades homeoméricas, podría ponerse principalmente en su capacidad heurística, en su significado en los «contextos de descubrimiento»: si dada una «isla de Koch» –es decir, alguna configuración natural que le sea asimilable– logramos determinar su núcleo, es muy probable que hayamos encontrado una pista para establecer su ley de construcción; otro tanto se diga en cuanto a la aplicación de los fractales a los árboles jerárquicos de clasificación (Mandelbrot, op. cit., pág. 161).

Cabe decir, sin embargo, (al menos cuando nos situamos en la perspectiva de la idea de cierre categorial), que la importancia gnoseológica de los desarrollos holoméricos puede ser mucho mayor. No, desde luego, por tanto, por la holomería en sí misma considerada, cuanto por las holomerías desarrolladas según una forma circular tal que las leyes de construcción de las partes vengan a constituirse en el fundamento material para establecer una ley del todo holomérico y recíprocamente. Dicho de otro modo: cuando las totalidades intermedias sean el cauce a través del cual puede continuarse la reiteración de la integración o diferenciación respectivas. En estas situaciones, tendrá lugar un cierre operatorio [203], una suerte de «realimentación estructural», que nos pondría enfrente de una «totalidad autosuficiente» desde el punto de vista de su inteligibilidad operatoria. Y, lo que es aún más importante, filosóficamente hablando: que esta «autosuficiencia del todo» no implicaría la necesidad de atribuir a ese todo la condición de «todo absoluto». Antes aún, se excluiría esa atribución, dado que la «circulación» se produce en el plano de las partes de un todo efectivo por respecto de sus propias partes y sólo desde ellas.

El concepto de desarrollo holomérico, en el sentido dicho, puede servir, ante todo, para analizar las profundas virtualidades del cálculo diferencial, para la obtención, según procedimientos clásicos, de leyes estructurales de múltiples configuraciones (estructuras, totalidades sistáticas) de índole físico-geométrica.

Ilustremos esta afirmación mediante un ejemplo elemental: dado un triángulo OAB (una totalidad sistática) coordenado en los ejes XY, de suerte que los puntos determinados y se ajusten a la función y = 2x, podremos escribir el área de ese triángulo por la igualdad 2x(x) / 2 = x². Podemos ahora desarrollar holoméricamente «por diferenciación» el triángulo cortándolo por rectas (tomando como base la AB) perpendiculares al eje X; estas rectas (PM, QN, …, presentes siempre virtualmente en el plano) nos determinarán partes trapezoidales del triángulo (ABMP, ABNQ,…); partes trapezoidales que tienen la capacidad de instaurar una reconstrucción del triángulo como una totalidad holomérica, dado que la serie de partes trapezoidales que van reiterándose y englobando, como partes trapezoidales, a las precedentes, no es ilimitada, sino que encuentra su límite interno en el momento en el cual el lado del trapecio opuesto al lado base AB se reduce a un punto (el triángulo total se nos manifiesta ahora como un «trapecio límite» con un lado reducido al punto de intersección de los lados que cortan el lado base). Ahora bien, las propias partes trapezoidales desarrolladas diferencialmente de modo recursivo tienen también un límite (hacia las partes: este límite será un rectángulo de área S = 2xd(x); por lo que desarrollando por integración el todo, reobtendremos el área del triángulo T = ∫ 2xd(x) = 2(x²/2) = x², en coincidencia con el resultado euclidiano: Euclides, Libro I, teorema 41). Sobre esta homeomería «plana» cabe desarrollar una homeomería «sólida» que nos permita construir el volumen cónico resultante del giro del triángulo anterior sobre el eje X. La holomería resultará ahora del desarrollo resolutivo del cono de revolución en una serie de troncos de cono que permita redefinir el cono total como el límite de esa serie de los troncos cónicos. Sobre esta holomería, construimos una homeomería de «partes cilíndricas», resultado de los giros de los rectángulos límites trapezoidales, que dan lugar a cilindros de bases π r² (para r = 2x) y volumen π (2x)² dx, por lo que el desarrollo, por integración, del volumen del cono total será

V = ∫ π (2x)² x = (4π / 3) x³ + c

(las partes homeoméricas son límites de las holoméricas, sobre las que se mantiene el desarrollo global).

Las situaciones de desarrollo holomérico son muy frecuentes también en Física. Por ejemplo, la asociación de acumuladores en «sistemas» (en realidad, totalidades sistáticas [50]) en derivación (baterías) o en cascada son desarrollos holoméricos (en el todo «por derivación», la capacidad del todo es mayor que la suma de las partes, mientras que en el todo «por seriación», la capacidad es menor que la de la suma de las partes); también los «sistemas de lentes» (en realidad totalidades sistemáticas [50]) son totalizaciones holoméricas. Como desde luego son holoméricas, de acuerdo con la teoría de los dominios magnéticos, las estructuras ferromagnéticas. Pero acaso la situación de mayor trascendencia gnoseológica, dado su alcance universal y su significado histórico, susceptible de ser analizada en términos de un desarrollo holomérico, sea la situación constituida por la teoría de la gravitación newtoniana.

{TCC 545-553, 1427-1428 / → TCC 553-557}

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