Filosofía en español
Literalmente todos los sistemas geométricos diferentes del euclidiano. Sin embargo, por lo común se entiende por geometrías río euclidianas las de Lobachevski y de Riemann. Desde el punto de vista de la estructura lógica, la geometría de Lobachevski se caracteriza por los mismos axiomas que la geometría de Euclides, a excepción del axioma de las rectas paralelas. En la geometría de Lobachevski se admite que por un punto no situado en la recta a, se pueden trazar en el plano dado no menos de dos rectas paralelas a a (de donde se sigue que son un conjunto infinito). Los teoremas de dicha geometría son distintos de los euclidianos; así, en ella, la suma de los ángulos de un triángulo es menor que dos rectos (180º). En la geometría no euclidiana de Riemann se admite que cualquier recta de un plano se cruza con cualquier otra recta situada en el mismo plano (no existen rectas paralelas). Las geometrías no euclidianas son de gran importancia para la física teórica moderna (Teoría de la relatividad, Mecánica cuántica). Si descubrimiento es importante; asimismo, en sentido filosófico, pues refutó la tesis de Kant sobre el carácter apriorístico del espacio, refutó la concepción metafísica del espacio como cierta esencia invariable. Las geometrías no euclidianas confirman la visión dialéctica del espacio como forma de existencia de la materia, forma susceptible de cambiar a la vez que la materia cambia.
Diccionario filosófico · 1965:203
Todos los sistemas geométricos que se diferencian del euclidiano. Ahora bien, de ordinario, por Geometrías no euclidianas se sobrentienden las geometrías de Lobachevski, de J. Bolyai y de B. Riemann. Desde el punto de vista de la estructura lógica, la geometría de Lobachevski se caracteriza por los mismos axiomas que la de Euclides, salvo el axioma de las rectas paralelas. La geometría de Lobachevski admite que a través de un punto que se encuentra en la línea recta a pueden trazarse en una superficie plana (determinada por este punto y la línea recta a) no menos de dos líneas rectas que no cruzan a (de ahí se deriva ya que hay una infinitud de tales líneas). Los teoremas de esta geometría se distinguen de los euclidianos. En la Geometría no euclidianas de Riemann se admite que toda línea recta en una superficie plana se cruza con toda otra línea recta que se encuentra en la misma superficie plana (no existen líneas rectas paralelas). Las Geometrías no euclidianas desempeñan un importante papel en la física teórica moderna (Teoría de la relatividad, Mecánica cuántica). Su descubrimiento fue importante también en el sentido filosófico, pues refutó la tesis de Kant sobre la aprioridad del concepto de espacio y la opinión metafísica sobre el espacio como cierto ente inmutable. Las Geometrías no euclidianas confirman el enfoque dialéctico del espacio como forma de existencia de la materia, capaz de cambiar junto con ella.
Diccionario de filosofía · 1984:195