Filosofía en español 
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Teoría filosófica (gnoseológica) de la ciencia

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Verdad (científica) como identidad sintética sistemática: un ejemplo / Neutralización de las operaciones

Como ilustración de la concepción de la verdad por la identidad sintética nos remiteremos al análisis de un teorema muy sencillo de la Geometría elemental euclidiana, a saber, el teorema del área del círculo, que podemos resumir en la fórmula S = π r². La identidad sintética aquí no se establece entre dos términos, como si fuese una relación binaria, ni se expresa en una proposición aislada (en un juicio, del estilo 7 + 5 = 12), sino en un teorema. Un teorema es un sistema complejo que consta obligadamente, no sólo de n proposiciones, sino de múltiples estratos sintácticos, semánticos y pragmáticos. [190] Por ejemplo, S = π r², incluye términos, operaciones y relaciones; también hay fenómenos –el «redondel»–, referencias fisicalistas, esencias o estructuras –pasos al límite, incrementos diferenciales– y, desde luego, autologismos (que aquí actúan de un modo muy notorio), dialogismos (como lo muestra la propia historia de este teorema) y normas. Advertimos aquí cómo la identidad sintética se establece en una relación que brota «transversalmente» de cursos operatorios confluyentes. Las consecuencias resultantes de estos cursos no pueden ser abstraídas, ni proyectadas sobre la «realidad»; constituyen más bien el momento dinámico (genético) de la construcción en cuyo seno brotará la estructura objetiva, desde la cual las operaciones pueden considerarse neutralizadas.

Los cursos operatorios que conducen al teorema S = π r² son muy diversos. Consideraremos los dos siguientes. Ambos cursos se basan en una descomposición-recomposición homeomérica u holomérica del círculo.

Curso I: Parte de la descomposición (homeomérica) de S en triángulos isósceles inscritos (de área axb/2, que tienden a convertirse en radios de circunferencia, al disminuir su base; el perímetro suma de esos polígonos tenderá a la circunferencia 2 π r, al mismo tiempo que las apotemas a tienden al radio r. La construcción es genuinamente dialéctica: comienza agregando desde fuera al círculo un conjunto de polígonos, que, al final, habrán de ser eliminados. Pero la construcción nos llevará a un resultado, al producto π r², que procede de esas transformaciones de los polígonos inscritos: (axb/2) n = (an/2) r = (2π / 2) r = π r², al alcanzar sus límites.

Curso II: Partimos ahora de la descomposición (holomérica) del círculo S (de cualquier círculo, lo que plantea problemas especiales relativos a la identidad isológica esencial entre los diversos círculos) en bandas (coronas) desarrolladas en rectángulos de base 2 π r y altura dr; por lo que, a medida que estas «bandas» van creciendo hasta el radio máximo R, que atribuimos al círculo de partida, su área total será el límite de la suma o integral ∫0R 2 π rdr = 2 π (r²/2) = π r². Los pasos principales de los cursos I y II quedan expresados en el cuadro siguiente:

TCC 168

Cada uno de los cursos, conduce pues, en resolución, a la misma S=πr². Cada uno de los cursos establece ya una identidad sintética entre S y πr². Sintética, porque a partir del círculo S (que incluye necesariamente un contenido fenoménico) no se deriva analíticamente πr² (es precisa una descomposición «extrínseca» en figuras auxiliares, con las cuales formaremos después triángulos o bandas). Teniendo esto en cuenta se hace necesario, para el análisis, determinar la fórmula de este modo: S = tπr² (o bien St=πr²) y S=bπr² (o bien Sb=πr²), significando, respectivamente: S es igual «triangularmente» a πr², y S es igual «en bandas» a πr². Por consiguiente, la expresión más exacta de las relaciones obtenidas sería la siguiente: (St=πr²)&(Sb=πr²)→ (St=Sb). Para llegar a esta fórmula, ha sido preciso pasar al límite, reduciendo los triángulos a una base cada vez más pequeña, y, correspondientemente, haciendo lo mismo con las bandas. Hay una síntesis, aunque no sea más que porque pasamos de longitudes, o de relaciones de longitudes (r, π), a áreas.

En cada curso que conduce a S=πr² hay, por tanto, una confluencia múltiple. Por ejemplo, en el curso I, las operaciones de disminuir las bases de los triángulos, de identificar estas bases mínimas con los puntos de la circunferencia y el perímetro del polígono con 2πr; confluyen sintéticamente (a través de autologismos respectivos) con la identificación de la apotema y del radio; en el conjunto de estas operaciones aparece la composición 2πr/2 y r, y, por cancelación algebraica, πr² (sintetizado autológicamente con la denotación de S). Adviértase que al suponer a S dado en un plano fenoménico y fisicalista, la construcción del teorema (tanto en el curso I como en el curso II) no es meramente «ideal»; debe ser remitida a un contexto empírico (Proclo diría: existencial), que comporta, de modo más o menos explícito, la verificación de los números, es decir, el ajuste numérico de las medidas de las áreas de diversos círculos. No se trata, por tanto, de que estemos ante una fórmula ideal a priori de un modelo puro esencial, ulteriormente aplicable a materiales empíricos. Admitirlo así, equivaldría a desconectarnos gratuitamente del proceso constructivo-demostrativo, ateniéndonos a la fórmula como una mera regla. La fórmula sólo funciona sobre materiales empíricos, sobre «redondeles» descompuestos y se extiende de unos a otros por recurrencia. De manera que ni cabrá hablar de una «sorpresa» en cada caso que realiza la fórmula (como si pudiera no verificarla) –cada caso no pertenece a otro mundo «real», distinto del supuesto mundo ideal apriorístico, sino que pertenece al mismo mundo–, ni tampoco cabe hablar de una monótona repetición que nada añade a la verdad ya establecida. Por de pronto, cada caso implica eliminación de los componentes distintos a partir de los cuales puede configurarse el material fenoménico (color, composición química, lugar; también, longitud de círculos, y, sobre todo, estado de inserción del círculo en esferas, planos o cualesquiera otras figuras geométricas); esto nos permite reconocer cómo la «propagación» de una misma estructura geométrica a través de la diversidad de situaciones y materiales, constituye un incesante motivo de novedad, resultante de la reiteración misma.

Ahora bien, la confluencia, en la misma fórmula πr², de los dos cursos operatorios también debe considerarse como fuente decisiva de la identidad sintética que establece este teorema. Es cierto que no puede decirse que la verdad de πr² haya que referirla únicamente a la identidad o confluencia de los dos cursos operatorios que llevan a la fórmula. Tampoco puede decirse que cada curso sea autónomo y que su confluencia con el otro no añade nada en cuanto a la certeza (o convictio), que sí le añade; lo importante es que la confluencia añade, sobre todo, contenido (cognitio). No puede decirse, en resumen, que esa confluencia sea irrelevante, porque cada curso no añade ninguna evidencia al otro curso, como si fuera suficiente cada uno por sí solo. Solamente desde la perspectiva de Dios Padre, de su «Ciencia de simple inteligencia» (para la cual todas las verdades son analíticas), puede afirmarse que «es natural» que St dé el mismo resultado que Sb, puesto que se trata del mismo círculo. Con semejante afirmación, incurriríamos en flagrante petición de principio. Sólo podría afirmar esta «naturalidad» quien hubiera conocido la relación πr² antes de triangular el círculo o de descomponerlo en bandas, y hubiera formado los círculos a partir de esa relación. Pero el proceso efectivo es el inverso: es porque St conduce a πr² por lo que podemos poner St=¹Sb, pero no puede decirse que, por ser (ordo esendi) éstas idénticas, es «natural» que ambos cursos operatorios hayan de conducir (ordo cognoscendi) al mismo resultado.

En todo caso, será la confluencia de estos dos cursos lo que permite neutralizar las operaciones respectivas (de triangulación y de bandas), es decir, la segregación de la estructura respecto de sus génesis, cuyos cursos tienen tan diversas trayectorias. En efecto: si consideramos cada curso por separado, por ejemplo, el curso I, habremos de decir que el área πr² de S sólo se nos muestra como verdadera (la identidad St=πr²) a través del polígono que va transformándose en otro, y este en un tercero…, disminuyendo la longitud de sus lados. Esto equivale a decir que la identidad S=πr² se establece en función de esos polígonos que multiplican (operatoriamente) sus lados, de esas apotemas que tienden al radio (confluyendo los resultados de estas operaciones con los resultados de las otras aplicadas a los lados). Siempre habría que dar un margen de incertidumbre a la relación St=Sb. En efecto, aunque el área S esté dada en función de los triángulos que se transforman los unos en los otros, no está determinada por ellos. Habría que sospechar que la relación St=S=πr² pudiera no ser una identidad por sí misma, sino «sesgada» por la triangulación. Podría pensarse que no fuera siquiera conmensurable la triangulación con S, y que la fórmula πr² fuese una aproximación de πr² a S, pero no S mismo. En cualquier caso, S sólo se nos hace aquí idéntico a πr² por la mediación del curso de la triangulación, y sin que pueda eliminarse propiamente este curso. El «paso al límite» no es un «salto» que pueda dejar atrás (salvo psicológicamente) a los precedentes.

Pero cuando los dos cursos I y II confluyen en una misma estructura (S=πr²), entonces es cuando es posible neutralizar (o segregar) cada curso, desde el otro. La neutralización será tanto más enérgica cuando ocurra, como ocurre aquí, que los cursos son, desde el punto de vista algorítmico, totalmente distintos; que las mismas cifras que aparecen como las «mismas» (esencialmente) en el resultado (por ejemplo, el 2 de πr² y el 2 de 2π, que se cancela por otra mención de 2) proceden de fuentes totalmente distintas: en el curso I, πr² toma el 2 exponente de la repetición de r en 2πr·r, es decir, de la circunstancia de que r aparece en la fórmula 2πr (límite del polígono) como límite de la apotema a; pero en el curso II, πr² toma el 2 exponente del algoritmo general de integración de funciones exponenciales xn para el caso n=1.

Asimismo, en el curso I, la cancelación de 2 (en el contexto 2π) se produce a partir del «2» procedente de la formulación del área del triángulo como mitad de un rectángulo, pero en el curso II, el «2» cancelado procede del algoritmo de integración de xn para n=1 (es decir x²/2).

Lo asombroso, por tanto, es la coincidencia de procedimientos algorítmicos tan completamente diversos; asombro que no puede ser declinado ni siquiera alegando de nuevo la consideración de que el círculo es el mismo (al menos esencialmente). ¿Acaso ese mismo círculo ha sido descompuesto de modos totalmente distintos y reconstruido por vías no menos diferentes? Cada una de ellas nos conduce a una adigualdad; adigualdad que, por tanto, no puede considerarse como reducible a la adigualdad obtenida en el otro curso. Cada una de estas adigualdades –diremos– nos manifiesta una franja de verdad, y la confluencia de ambas franjas tiene como efecto dar más amplitud o espesor a la franja de verdad correspondiente. Como quiera que hay que registrar dos identidades de primer orden (St=πr² y Sb=πr²), y otra de segundo orden (St=Sb), habrá también que registrar tres sinexiones, a saber: la sinexión (S,St), la sinexión (S,Sb), y la sinexión (St,Sb). Si hablamos de sinexiones es porque el círculo S y los triángulos (o bandas) en los que se descompone son, en cierto modo, exteriores al propio círculo; pero no por ello dejan de estar necesariamente unidos a él. Una unión que sólo resulta ser necesaria precisamente cuando haya quedado establecida la identidad sintética. Sólo porque S es a la vez St y Sb, puede decirse que hay conexión necesaria entre ellos.

{TCC 164-171 / → TCC 148-183 / → QC 65-74 / → BS25a}

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