Se traslada a Madrid en 1898, para cursar el Doctorado en Derecho, teniendo así ocasión de ser directamente alumno de Francisco Giner (al que ya había tenido ocasión de conocer, pues Palacios se desplazó desde Asturias a Galicia para visitarle durante sus vacaciones en San Victorio de Betanzos). En 1899 alcanza el grado de Doctor, con la tesis titulada La progresión científica del derecho penal (197 hojas, conservada entre las tesis doctorales inéditas de la Universidad Complutense con el número T2958). Ese mismo año publica sus primeros artículos en el Boletín de la Institución Libre de Enseñanza: «Toynbee-Hall» (BILE, tomo XXIII, 1899, 3-10) y «La extensión universitaria en España» (BILE, tomo XXIII, 1899, 110-119). Desde entonces seguirá colaborando con la Institución Libre de Enseñanza, en la que ocupó desde 1917 el cargo de Secretario. (En 1925 intervino en la edición de las Obras de Giner –se le debe la nota preliminar al tomo XII, Educación y enseñanza– y en 1926 publicó en el BILE el artículo «La cátedra de Giner».)
El 8 de noviembre de 1901 la Universidad de Oviedo le concedió una pensión para ampliar sus estudios en Europa. Leopoldo Palacios fue el primer pensionado de esa universidad en el extranjero. Visitó Francia, Bélgica, Italia, Suiza y Alemania; y su actividad está recogida en la Memoria publicada de forma incompleta en el tomo II de los Anales de la Universidad (Oviedo 1904, págs. 186-203 y 258-275). Adolfo Alvarez Buylla publicó en el mismo volumen, como apéndice IX, el favorable Dictamen de la Facultad de Derecho sobre esa memoria (págs. 353-361). Ese mismo año de 1901 el «grupo de Oviedo» se estaba disgregando: Buylla y Posada fueron nombrados jefes de sección del recién creado Instituto de Trabajo, en Madrid; el 13 de junio había fallecido Clarín, &c. A partir de 1904, al crearse en Madrid el Instituto de Reformas Sociales, al que estará vinculado Adolfo Posada hasta su desaparición en 1924, trabajarán allí Leopoldo Palacios, Francisco Rivera Pastor y Tomás Elorrieta, entre otros.
En 1903 en La España Moderna publicó «Las universidades populares» (tomo 173, mayo 1903). Y a finales de 1908 (o principios de 1909) la editorial Sempere, de Valencia, publicó su libro Las universidades populares (del que existe desde junio de 2002 una versión digital disponible por internet), en el que refunde y actualiza algunos de los textos publicados en los últimos diez años.
En 1907 algunos reformistas en el Gobierno de España, más o menos influidos por «la Institución», impulsan la creación de la Junta para Ampliación de Estudios e Investigaciones Científicas, como el organismo cultural más alto de España. En su Patronato figuraban Marcelino Menéndez Pelayo y Rafael Altamira, y sería presidida por Santiago Ramón y Cajal. En 1908 Leopoldo Palacios recibe una pensión de la Junta para completar en Alemania sus conocimientos sobre las diversas aplicaciones de los seguros. Entre las varias instituciones promovidas desde Junta nace en 1910 la elitista Residencia de Estudiantes. Dirigida por Alberto Jiménez Fraud, contaba con un Patronato, presidido por Ramón Menéndez Pidal, del que eran vocales Nicolás Achúcarro, Gabriel Gancedo, Juan Antonio Güell, José Ortega y Gasset, Leopoldo Palacios, el Marqués de Palomares de Duero, Pedro Sangro Ros de Olano y Juan Uña Sathou.
Casado con la Catalina Rodríguez, en 1912 nació su hijo Leopoldo Eulogio Palacios Rodríguez.
En 1914 fue nombrado Palacios vocal del Comité directivo de la Residencia de Estudiantes. Mantenía también sus vínculos asturianos, como director de estudios del Centro Asturiano de Madrid.
Doctor en derecho, académico de la de Ciencias Morales y Políticas, uno de los impulsores de las reformas educativas y sociales proyectadas durante el primer tercio del siglo XX en España y autor del libro Las universidades populares (Valencia 1908). Nació en Oviedo el 29 de diciembre de 1876 y estudió en el Instituto de segunda enseñanza y en la Universidad de su ciudad natal hasta alcanzar la licenciatura en Derecho. En el ambiente favorable al «institucionismo» que reinaba por entonces entre varios profesores de aquella Facultad, tuvo ocasión desde muy pronto de conocer a los herederos del krausismo. Cuando en 1893 comenzó a estudiar el primer curso de Derecho, Leopoldo Alas mandaba estudiar a sus alumnos los Principios de Derecho Natural publicados por Francisco Giner y Alfredo Calderón. Escribiría más tarde Palacios, reconstruyendo los recuerdos de entonces: «el Giner venía a ser una anticipación luminosa de la cátedra de Madrid con la que soñábamos los entusiastas». En esos años coincidieron como profesores en la universidad asturiana Adolfo Alvarez Buylla, Leopoldo Alas «Clarín», Adolfo González Posada, Aniceto Sela, Rafael Altamira (desde 1897), &c. 
